Logaritme pentru circuite analogice

Pallina da Ping Pong : Esperimento Scientifico con Marcello Ascani (Iunie 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Logaritme pentru circuite analogice

Matematică pentru electronică


Intrebarea 1

Conceptul de putere matematică este familiar pentru majoritatea studenților de algebră. De exemplu, zece la a treia putere înseamnă:

10 3 = 10 × 10 × 10 = 1000

. . . și opt la a șaptea putere înseamnă aceasta:

8 7 = 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 = 2.097.152

Așa cum scăderea este funcția inversă a adunării, și diviziunea este funcția inversă a multiplicării (deoarece cu funcții inverse, una "întrerupe" cealaltă), există și o funcție inversă pentru o putere și o numim logaritm .

Re-scrieți expresia 10 3 = 1000 astfel încât să folosească aceleași cantități (10, 3 și 1000) în contextul unui logaritm în loc de o putere, la fel cum scăderea este arătată aici ca fiind inversul adăugării și divizarea se dovedește a fi inversul multiplicării în următoarele exemple:

3 + 8 = 11 (+ și - sunt funcții inverse) 11 - 3 = 8

2 × 7 = 14 (× și ÷ sunt funcții inverse) 14 ÷ 2 = 7

10 3 = 1000 (puterile și jurnalele sunt funcții inverse) log 10 "# 1"> Răspuns dezvălui Ascunde răspunsul

10 3 = 1000 (puterile și buștenii sunt funcții inverse) log 10 1000 = 3

Note:

Din experiența mea, majoritatea studenților americani sunt îngrozitor de subaprobați pentru subiectul logaritmilor atunci când studiază cu mine. Desigur, logaritmii nu văd atât de mult folosirea în viața de zi cu zi ca și puterile (și aceasta este foarte mică pentru majoritatea oamenilor așa cum este!). Logaritmii erau obișnuite pentru elevii din învățământul secundar și colegiu, deoarece aceștia erau esențiali pentru funcționarea unei reguli de diapozitive, un dispozitiv elegant de calcul analogic mecanic de acum zece ani.

Scopul acestei întrebări este de a dubla: să-i facem pe studenți să înțeleagă ce este un logaritm și să le reamintească conceptul de funcții inverse care devin foarte importante în circuitele analogice de calcul.

intrebarea 2

Având în vedere următoarea expresie matematică, scrieți altul definind un logaritm folosind aceleași variabile:

Dacă: x y = z Apoi: log ? ? =?

Revelați răspuns Ascundeți răspunsul

Dacă: x y = z Apoi: log x z = y

Note:

Nimic special aici. Într-adevăr, răspunsul la această întrebare poate fi derivat din orice manual algebric.

Întrebarea 3

Calculatoarele electronice cu capacitate logaritmică au cel puțin două tipuri diferite de logaritme: logaritm comun și logaritm natural, simbolizate ca "log" și, respectiv, "ln". Explicați diferența dintre aceste două tipuri de logaritmi.

Revelați răspuns Ascundeți răspunsul

Funcția logaritmică comună presupune o valoare "de bază" de zece, în timp ce logaritmul natural presupune o valoare de bază a lui e (constanta lui Euler).

Următoarele întrebări: care este valoarea aproximativă a e? Cum puteți obține calculatorul dvs. pentru a vă da răspunsul (mai degrabă decât să-l căutați într-o carte de matematică?

Note:

Unele calculatoare, desigur, vă permit să extrageți logaritmul oricărui număr la orice bază. Aici, vreau pur și simplu elevii să se familiarizeze cu cele două funcții logaritmice disponibile pe calculatoarele științifice cele mai de bază.

Rețineți că unele calculatoare vor afișa doar suficiente cifre ale lui e pentru a da impresia falsă că repetă (zece cifre: e = 2.718281828). Dacă cineva sugerează că e este un număr zecimal repetat (repetat), corectați această neînțelegere, spunându-i că este irațional, la fel ca π.

Întrebarea 4

Rețineți următoarele identități logaritmice, utilizând logaritmul "comun" (baza 10):

log10 = 1

log100 = 2

log1000 = 3

log10000 = 4

În prima ecuație, numerele 10 și 1 au fost asociate împreună prin funcția jurnal. În a doua ecuație, numerele 100 și 2 au fost asociate împreună prin aceeași funcție de jurnalizare și așa mai departe.

Rescrieți cele patru ecuații împreună astfel încât aceleași numere să fie legate între ele, dar fără a scrie "jurnal". Cu alte cuvinte, reprezintă aceleași relații matematice folosind o altă funcție matematică, alta decât funcția comună de logaritm.

Revelați răspuns Ascundeți răspunsul

10 1 = 10

10 2 = 100

10 3 = 1000

10 4 = 10000

Note:

O astfel de ilustrare îi ajută pe elevi să înțeleagă ce funcționează efectiv funcția "log".

Întrebarea 5

Rețineți următoarele identități logaritmice, utilizând logaritmul "comun" (baza 10):

log0.1 = -1

log0.01 = -2

log0.001 = -3

log0.0001 = -4

În prima ecuație, numerele 0.1 și 1 au fost asociate împreună de funcția jurnal. În cea de-a doua ecuație, numerele 0.01 și 2 au fost asociate împreună prin aceeași funcție de jurnalizare și așa mai departe.

Rescrieți cele patru ecuații împreună astfel încât aceleași numere să fie legate între ele, dar fără a scrie "jurnal". Cu alte cuvinte, reprezintă aceleași relații matematice folosind o altă funcție matematică, alta decât funcția comună de logaritm.

Revelați răspuns Ascundeți răspunsul

10 -1 = 0, 1

10 -2 = 0, 01

10 -3 = 0, 001

10 -4 = 0, 0001

Note:

O astfel de ilustrare îi ajută pe elevi să înțeleagă ce funcționează efectiv funcția "log".

Întrebarea 6

Examinați următoarea evoluție a afirmațiilor matematice:

(10 2 ) (10 3 ) = 100 000

10 2 + 3 = 100000

10 5 = 100000

Ce indică acest model? Ce principiu al algebrei este ilustrat de aceste trei ecuații?

Apoi, examinați această evoluție a afirmațiilor matematice:

log10 5 = log100000 = 5

log10 2 + 3 = log100000 = 5

log10 2 + log10 3 = log100000 = 5

Ce indică acest model? Ce principiu al algebrei este ilustrat de aceste trei ecuații?

Revelați răspuns Ascundeți răspunsul

Primul model:

Produsul a două numere de bază cu exponenți diferiți este egal cu numărul de bază ridicat la puterea sumelor exponenților.

Al doilea model:

Suma a două logaritme este egală cu logaritmul produsului celor două numere.

Note:

În această întrebare, vreau ca elevii să înceapă să vadă modul în care logaritmii se referă la multiplicare la adăugare și la modul în care se referă competențele în plus față de multiplicare. Acesta este un pas inițial către recunoașterea de către elevi a logaritmilor ca funcții de transformare : un mijloc de a transforma un tip de problemă matematică într-un tip mai simplu de problemă matematică.

Întrebarea 7

Examinați această evoluție a afirmațiilor matematice:

(100) (1000) = 100000

(100) (1000) = 10 5

log ((100) (1000)) = log10 5

log100 + log1000 = log10 5

log10 2 + log10 3 = log10 5

2 + 3 = 5

Ceea ce a început ca o problemă de multiplicare a ajuns ca o problemă suplimentară, prin aplicarea logaritmilor. Ce vă spune acest lucru despre utilitatea logaritmilor ca instrument aritmetic?

Revelați răspuns Ascundeți răspunsul

Aceste logaritme pot reduce complexitatea unei ecuații de la multiplicare, până la adăugare, indică utilitatea ei ca instrument de simplificare a problemelor aritmetice. În mod specific, logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmilor celor două numere înmulțite.

Note:

În matematică, orice procedură care reduce un tip complex de problemă într-un tip mai simplu de problemă se numește o funcție de transformare, iar logaritmii sunt unul dintre cele mai simple tipuri de funcții de transformare existente.

Întrebarea 8

Să presupunem că ai un calculator științific cu două butoane rupte: multiplica (×) și împărți (÷). Demonstrați modul în care puteți rezolva această problemă de înmulțire simplă utilizând numai logaritme, adăugiri și antilogaritmi (puteri):

7 × 5 =? ? ?

Răspunsul la această problemă a fost destul de ușor pentru tine să dai seama fără un calculator deloc, deci iată câteva probleme de practică pentru tine:

23 × 35 =
781 × 92 =
19, 4 × 60 =
0, 019 × 2, 6 =
Revelați răspuns Ascundeți răspunsul

Aici vă voi arăta pașii de folosire a logaritmilor pentru a rezolva prima problemă de multiplicare:

7 × 5 =? ? ?

7 × 5 = 10 log7 + log5

7 × 5 = 10 0, 8451 + 0, 6990

7 × 5 = 10 1, 5441

7 × 5 = 35

Din moment ce ceilalți sunt destul de ușor pentru a vă verifica (cu ajutorul calculatorului dvs. ne-rupt!), Voi lăsa soluțiile în mâinile tale capabile.

Note:

De altfel, nu există nimic special în privința logaritmului comun care să justifice utilizarea sa exclusivă în această problemă. Am putea aplica la fel de ușor funcția logaritmică naturală cu același rezultat (final):

7 × 5 =? ? ?

7 × 5 = e ln7 + ln5

7 × 5 = e 1, 9459 + 1, 6094

7 × 5 = e 3.5553

7 × 5 = 35

Întrebarea 9

Examinați această evoluție a afirmațiilor matematice:

1000


100

= 10

1000


100

= 10 1

Buturuga⎛ ⎝ 1000


100

  = log10 1

log1000 - log100 = log10 1

log10 3 - log10 2 = log10 1

3 - 2 = 1

Ceea ce a început ca o problemă de divizare a ajuns ca o problemă de scădere, prin aplicarea logaritmilor. Ce vă spune acest lucru despre utilitatea logaritmilor ca instrument aritmetic?

Revelați răspuns Ascundeți răspunsul

Aceste logaritme pot reduce complexitatea unei ecuații de la divizare, până la scădere, indică utilitatea ei ca instrument de simplificare a problemelor aritmetice. În mod specific, logaritmul unui coeficient este egal cu diferența dintre logaritmii celor două numere împărțite.

Note:

În matematică, orice procedură care reduce un tip complex de problemă într-un tip mai simplu de problemă se numește o funcție de transformare, iar logaritmii sunt unul dintre cele mai simple tipuri de funcții de transformare existente.

Întrebarea 10

Să presupunem că ai un calculator științific cu două butoane rupte: multiplica (×) și împărți (÷). Demonstrați modul în care puteți rezolva această problemă de înmulțire simplă utilizând numai logaritme, adăugiri și antilogaritmi (puteri):

12 ÷ 3 =? ? ?

Răspunsul la această problemă a fost destul de ușor pentru tine să dai seama fără un calculator deloc, deci iată câteva probleme de practică pentru tine:

122 ÷ 35 =
781 ÷ 92 =
19, 4 ÷ 60 =
3, 5 ÷ 0, 21 =
Revelați răspuns Ascundeți răspunsul

Aici vă voi arăta pașii de folosire a logaritmilor pentru a rezolva prima problemă de multiplicare:

12 ÷ 3 =? ? ?

12 ÷ 3 = 10 log12 - log3

12 ÷ 3 = 10 1, 0792 - 0, 4771

12 ÷ 3 = 10 0, 6021

12 ÷ 3 = 4

Din moment ce ceilalți sunt destul de ușor pentru a vă verifica (cu ajutorul calculatorului dvs. ne-rupt!), Voi lăsa soluțiile în mâinile tale capabile.

Note:

De altfel, nu există nimic special în privința logaritmului comun care să justifice utilizarea sa exclusivă în această problemă. Am putea aplica la fel de ușor funcția logaritmică naturală cu același rezultat (final):

12 ÷ 3 =? ? ?

12 ÷ 3 = e ln12 - ln3

12 ÷ 3 = e 2, 4849 - 1, 0986

12 ÷ 3 = e 1, 3863

12 ÷ 3 = 4

Întrebarea 11

Examinați această evoluție a afirmațiilor matematice:

(1000) 2 = 1000000

(1000) 2 = 10 6

log ((1000) 2 ) = log10 6

(2) (log1000) = log10 6

(2) (log103) = log106

(2) (3) = 6

Ceea ce a început ca o problemă exponențială a ajuns ca o problemă de multiplicare, prin aplicarea logaritmilor. Ce vă spune acest lucru despre utilitatea logaritmilor ca instrument aritmetic?

Revelați răspuns Ascundeți răspunsul

Aceste logaritme pot reduce complexitatea unei ecuații de la exponentiere, până la multiplicare, indică utilitatea ei ca instrument de simplificare a problemelor aritmetice. În mod specific, logaritmul unui număr ridicat la o putere este egal cu puterea înmulțită cu logaritmul numărului.

Note:

În matematică, orice procedură care reduce un tip complex de problemă într-un tip mai simplu de problemă se numește o funcție de transformare, iar logaritmii sunt unul dintre cele mai simple tipuri de funcții de transformare existente.

Întrebarea 12

Să presupunem că ai un calculator științific cu două butoane rupte: puterea (y x ) și rădăcina ( x

√ {y}). Demonstrați modul în care ați putea rezolva această problemă de putere simplă utilizând numai logaritmi, multiplicare și antilogaritmi (puteri):

3 4 =? ? ?

Răspunsul la această problemă a fost destul de ușor pentru tine să dai seama fără un calculator deloc, deci iată câteva probleme de practică pentru tine:

25 6 =
564 3 =
0, 224 2 =
41 0, 3 =
Revelați răspuns Ascundeți răspunsul

Aici vă voi arăta pașii de folosire a logaritmilor pentru a rezolva prima problemă de multiplicare:

3 4 =? ? ?

3 4 = 10 (4 log3)

3 4 = 10 (4) (0, 4771)

3 4 = 10 1, 9085

3 4 = 81

Din moment ce ceilalți sunt destul de ușor pentru a vă verifica (cu ajutorul calculatorului dvs. ne-rupt!), Voi lăsa soluțiile în mâinile tale capabile.

Note:

De altfel, nu există nimic special în privința logaritmului comun care să justifice utilizarea sa exclusivă în această problemă. Am putea aplica la fel de ușor funcția logaritmică naturală cu același rezultat (final):

3 4 =? ? ?

3 4 = e (4 ln3)

3 4 = e (4) (1, 0986)

3 4 = e 4.3944

3 4 = 81

Întrebarea 13

Examinați această evoluție a afirmațiilor matematice:


1000

= 10 1.5

Buturuga


1000

= log (10 1, 5 )

log (1000 1/2 ) = log (10 1, 5 )

1


2

(log1000) = log (10 1, 5 )

1


2

(log10 3 ) = log (10, 1, 5 )

3


2

(log10) = log (10, 1, 5 )

3


2

(1) = log (10, 1, 5 )

3


2

= log (10 1, 5 )

3


2

= 1, 5

Ceea ce a început ca o problemă exponentă fracționată a ajuns ca o fracțiune simplă, prin aplicarea logaritmilor. Ce vă spune acest lucru despre utilitatea logaritmilor ca instrument aritmetic?

Revelați răspuns Ascundeți răspunsul

Aceste logaritme pot reduce complexitatea unei ecuații de exponentiere fracționată, până la fracțiuni simple, indică utilitatea ei ca instrument de simplificare a problemelor aritmetice. În mod specific, logaritmul unei rădăcini a unui număr este egal cu logaritmul acelui număr împărțit la indicele rădăcină.

Note:

În matematică, orice procedură care reduce un tip complex de problemă într-un tip mai simplu de problemă se numește o funcție de transformare, iar logaritmii sunt unul dintre cele mai simple tipuri de funcții de transformare existente.

Întrebarea 14

Să presupunem că ai un calculator științific cu două butoane rupte: puterea (y x ) și rădăcina ( x

√ {y}). Demonstrați modul în care puteți rezolva această problemă rădăcină simplă utilizând numai logaritmi, diviziuni și antilogaritmi (puteri):

3


8

=? ? ?

Răspunsul la această problemă a fost destul de ușor pentru tine să dai seama fără un calculator deloc, deci iată câteva probleme de practică pentru tine:

4 √ {13} =
5 √ {209} =
2.5 √ {9935} =
9.2 √ {0.15} =
Revelați răspuns Ascundeți răspunsul

Aici vă voi arăta pașii de folosire a logaritmilor pentru a rezolva prima problemă de multiplicare:

3


8

=? ? ?

3


8

= 10 (1/3 log8)

3


8

= 10 (1/3 (0, 9031))

3


8

= 10 0, 3010

3


8

= 2

Din moment ce ceilalți sunt destul de ușor pentru a vă verifica (cu ajutorul calculatorului dvs. ne-rupt!), Voi lăsa soluțiile în mâinile tale capabile.

Note:

De altfel, nu există nimic special în privința logaritmului comun care să justifice utilizarea sa exclusivă în această problemă. Am putea aplica la fel de ușor funcția logaritmică naturală cu același rezultat (final):

3


8

=? ? ?

3


8

= e (1/3 ln8)

3


8

= e (1/3 (2.0794))

3


8

= e 0, 6931

3


8

= 2

Întrebarea 15

S-ar putea să vă întrebați de ce cineva s-ar deranja folosind logaritmuri pentru a rezolva problemele aritmetice pentru care avem funcții de calculator digitale perfect performante și eficiente la dispoziția noastră. De exemplu, de ce ar face cineva acest lucru:

10 log7 + log5

. . . când ar putea face doar pe același calculator?

7 × 5

Răspunsul rapid la această întrebare foarte bună este "când este mai dificil să multiplicăm direct două numere". Problema este că majoritatea oamenilor au un moment dificil de a-și imagina când ar fi mai ușor să luați două logaritme, să le adăugați împreună și ridicați zece la această putere decât ar fi să multiplicați pur și simplu cele două numere originale împreună.

Răspunsul la acel mister se găsește în circuitele operaționale ale amplificatoarelor. După cum reiese, este mult mai ușor să construim circuite opamp unice care să adauge, să scadă, să exponentizeze sau să ia logaritme decât să construiască unul care înmulțește direct sau împarte două cantități (tensiuni analogice) împreună.

Putem considera aceste funcții opamp ca "blocuri" care pot fi interconectate pentru a efectua funcții aritmetice compuse:

Folosind acest model de "blocuri" de funcții matematice specifice, arătați modul în care următorul set de blocuri de funcții matematice analogice poate fi conectat împreună pentru a multiplica două tensiuni analogice împreună:

Revelați răspuns Ascundeți răspunsul

Note:

Scopul acestei întrebări este simplu: să furnizeze o aplicație practică pentru logaritmi ca ajutoare computaționale într-o epocă de dispozitive ieftine, omniprezente, digitale de calcul.

Întrebarea 16

Logaritmii au proprietăți interesante, pe care le putem exploata în circuitele electronice pentru a efectua anumite operații complexe. În această întrebare, vă recomandăm să utilizați un calculator de mână pentru a explora aceste proprietăți.

Calculați următoarele:

10 log3 =
log (10 8 ) =
e ln3 =
ln (e 8 ) =
10 (log3 + log5) =
e (ln3 + ln5) =
10 (log2.2 + log4) =
e (ln2.2 + ln4) =
10 (log12 - log4) =
e (ln12 - ln4) =
10 (2 log3) =
e (2n3) =
10 ((log25 / 2))
e ((ln25 / 2))
Revelați răspuns Ascundeți răspunsul

10 log3 = 3
log (10 8 ) = 8
e ln3 = 3
ln (e 8 ) = 8
10 (log3 + log5) = 15
e (ln3 + ln5) = 15
10 (log2.2 + log4) = 8, 8
e (ln2.2 + ln4) = 8, 8
10 (log12 - log4) = 3
e (ln12 - ln4) = 3
10 (2 log3) = 9
e (2n3) = 9
10 ((log25 / 2)) = 5
e ((ln25 / 2)) = 5

Note:

Discutați despre ce operații matematice se fac cu constantele din aceste ecuații, folosind logaritmii. Ce modele observă studenții dvs. "meta-etichete ascunse">

Instrumente asociate:

Reflection Calculator atenuator N-Way Calculator de separator de putere Calculator inductiv de urmărire

  • ← Foaia de lucru anterioară

  • Fișa foilor de lucru

  • Foaia de lucru următoare →